Themenspezial

Bitten Sie Ihre Schüler mit einem GPS-Gerät oder mithilfe des Internets (zum Beispiel Google Earth) die Geokoordinaten ihrer Wohnungen zu ermitteln. Entwickeln Sie mit Ihren Schülerinnen und Schülern Rechenwege, um Gradangaben in Dezimalangaben umzurechnen.

Wie lässt sich anhand von zwei Geo-Koordinaten berechnen, wie groß die Entfernung zwischen beiden Punkten ist?

Das Problem: Während der Abstand zwischen den Breitenkreisen konstant ist, hängt der Abstand zwischen den Längengraden davon ab, auf welcher Breite man sich befindet: Am Äquator sind die Distanzen am größten, zu den Polen hin werden sie immer kleiner. Seeleute nutzten für die Berechnung von Entfernungen früher das so genannte nautische Besteck – Zirkel, Dreieck, Seekarte. Davon abgeleitet nennt man die Entfernungsberechnung zwischen zwei Koordinaten bis heute Besteckrechnung. Einen Einstieg dazu können Sie zum Beispiel hier nachlesen:
http://www.astrosail.de/de/static/tutorial/best1.php?cat=42

Zwei Satelliten kreisen in Höhe von 20.200 km über der Erdoberfläche. Entfernung zum
GPS-Empfänger auf der Erdoberfläche:

Satellit 1: 22.000 km entfernt über den Koordinaten 37° N und 100° O Satellit 2: 21.000 km entfernt über den Koordinaten 15° N und 70° O

Folgende Fragen könnten im Mathematikunterricht besprochen werden:

• Wie lässt sich die Erdoberfläche als zweidimensionales Koordinatensystem darstellen? Welche Schreibweise der Geo-Koordinaten eignet sich am besten für die Rechnung?
• Wo in dem Koordinatensystem liegen die Kreise, auf denen sich GPS-Empfänger befinden können, die jeweils nur das Signal eines der beiden Satelliten empfangen? Wie groß ist der Radius dieser Kreise?
• Wo liegen die Schnittpunkte der zwei Kreise?
• Überlegung: Lassen sich die Ergebnisse auf die (runde) Erde übertragen?
• Angenommen, die Erde wäre eine perfekte Kugel mit einem Radius von 6.360 km, wie weit kann ein Satellit maximal vom Empfänger auf der Erdoberfläche entfernt sein? (Zur Erinnerung: Die Umlaufbahn der Satelliten liegt in 20.200 km Höhe).

Auch zur Veranschaulichung der Pseudoranges bietet es sich an, im zweidimensionalen Raum zu arbeiten. Wiederum kommen die beiden bereits genannten Satelliten zum Einsatz. Ihre tatsächliche Entfernung zum GPS-Empfänger auf der Erdoberfläche:

Satellit 1: 22.000 km entfernt über den Koordinaten 37° N und 100° O
Satellit 2: 21.000 km entfernt über den Koordinaten 15° N und 70° O

• Wie lange braucht das Signal der beiden Satelliten bis zum Empfängergerät? (Zur Erinnerung: Die Lichtgeschwindigkeit beträgt 299.792.458 m/s.)
• Angenommen, die Uhr im Empfängergerät geht im Vergleich zu den Atomuhren der Satelliten um eine Sekunde nach, um wie viel zu lang oder kurz würde dann die Entfernung zu den Satelliten erscheinen?
• Wie würden sich der Radius der beiden Kreise und die Lage ihrer Schnittpunkte dadurch ändern?

Ein Flugzeug fliegt im Bereich der beiden VORs „Bremen“ (53° 20’ 47’’ N, 8° 45’ 38’’ O)
und „Weser“ (53° 20’ 52’’ N, 8° 52’ 31’’ O). „Bremen“ liegt aus Sicht des Flugzeugs auf 260°,
„Weser“ auf 350°.

• Zeichnen Sie mit Ihren Schülern die beiden VORs in einer Karte ein. Wo kann sich das Flugzeug befinden?
• Wie könnte eine rechnerische Lösung für die Aufgabe aussehen? (zum Beispiel Geradenschnitt, Sinussatz)
• VORs orientieren sich am magnetischen Nordpol und nicht am geografischen, sie geben also so genannte missweisende Werte an. Um die Missweisung auszugleichen, muss die jeweilige „Ortsmissweisung“ bekannt sein. In Bremen beträgt sie im September 2013 etwa 1° 45’’. Das heißt, die Magnetnadel weicht um diesen Wert nach Osten ab. Wo befindet sich das Flugzeug, wenn die Missweisung herausgerechnet wird?

Gruppenarbeit: Finden Sie mit Ihren Schülern nach der Polarstern-Methode heraus, auf welchem Breitengrad sie sich befinden – entweder in den Wintermonaten, wenn es bei Schulbeginn noch dunkel ist oder als Hausaufgabe.

Der Äquator liegt bei 0°, der Nordpol bei 90°. Alternativ können Sie auch den Sonnenstand messen, vorzugsweise zur Tag-und-Nachtgleiche oder Sonnenwende. Zur Messung des ungefähren Höhenwinkels
können ein selbstgebauter Quadrant oder Jakobsstab helfen.

Bauanleitungen für beide finden Sie hier.

Schnittzeichnungen der Erde mit Zirkel und Geodreieck veranschaulichen die Lage der Winkel und Scheitelwinkel in rechtwinkligen Dreiecken.

• Wie groß sind die Abweichungen zwischen den Ergebnissen der Schüler?
• Vorausgesetzt, dass die Entfernung zwischen dem Nordpol und dem Äquator ungefähr 10.000 km beträgt, wie groß sind dann die Abstände zwischen den gemessenen Breitengraden (unter der Annahme, dass sich alle Punkte auf demselben Längengrad befinden)?
• Zur Tag-und-Nachtgleiche (Äquinoktikum) um den 22. März und den 22. September steht die Sonne mittags genau über dem Äquator. Auf welchem Breitengrad befindet sich ein Betrachter, für den die Sonne im Süden liegt und einen Höhenwinkel von 40 Grad aufweist?
• Zur Sommersonnenwende (je nach Jahr am 21. oder 22. Juni) erreicht die Sonne auf der Nordhalbkugel mittags ihren höchsten Punkt und fällt in einem Winkel von 23,5° zum Äquator auf die Erde – entsprechend der Neigung der Erdachse. Wo befindet sich an diesem Tag ein Betrachter, der die Sonne in einem Winkel von 80 Grad auf die Erde fallen sieht?

An Bord eines Schiffes wird der höchste Sonnenstand gemessen – es ist also 12 Uhr mittags. Die Uhr, die die Zeit am Nullmeridian anzeigt, steht auf 15 Uhr. Wie viele Längengrade liegen zwischen dem Schiff und dem Nullmeridian?

Voraussetzungen: Die Erde ist in 360 Längengrade eingeteilt, die am Nullmeridian beginnen und jeweils in westlicher und östlicher Richtung fortlaufend bis 180° gezählt werden. Eine komplette Umrundung der Erde
entspricht 24 Stunden.

Weitere Rechenanregungen zum Thema Längengrade:

• Der Erdäquator hat einen Umfang von 40.075 km. Wie viele Kilometer hat ein Schiff, das genau auf dem Äquator reist, zurückgelegt, wenn die Zeitverschiebung zum Heimathafen fünf Stunden beträgt?
• Der westlichste Punkt der Zeitzone, in der Deutschland liegt, befindet sich in der spanischen Region Galizien bei 9° 18’ westlicher Länge, der östlichste Punkt liegt in Nordnorwegen bei 31° 09’ Ost. Wie viele Längengrade liegen zwischen diesen beiden Punkten und wie groß ist die tatsächliche Zeitdifferenz zwischen beiden Orten, wenn man sich nur nach dem Stand der Sonne richtet?