Themenspezial
Rechenweg zur Entwicklung eines RSA-Schlüssels in der Sekundarstufe 1:
Es werden zwei verschiedene Primzahlen p und q zufällig gewählt und das Produkt der beiden berechnet: n = p * q, also zum Beispiel p = 5, q = 11 und entsprechend n = 5 * 11 = 55. Dies ist die Größe des Zahlenrings, mit dem die verschlüsselte Botschaft in Zahlen umgewandelt wird. Um alle Zahlen und Buchstaben einer chiffrierten Nachricht verschlüsseln zu können, sollte n größer als 36 sein, um mindestens 26 Buchstaben und 10 Ziffern abzubilden. In der Realität sind die Primzahlen größer, um die Sicherheit der Methode zu gewährleisten.
Dann wird ein zufälliger Wert e gewählt, der kleiner n und teilerfremd zu (p-1)*(q-1) = (5-1)*(11-1) = 4*10 = 40 ist, zum Beispiel e = 3.
Die beiden öffentlichen Schlüssel stehen fest: n = 55 und e = 3.
Berechnung des privaten Schlüssels:
Zu e wird das modular Inverse d gesucht. Es soll gelten:
(e*d) mod ((p-1)*(q-1)) = 1. Mit anderen Worten: Das Ergebnis aus (e*d)-1 soll ein Vielfaches von (p-1)*(q-1), demnach von 40, sein. In diesem Fall ist die kleinste Zahl, auf die dies zutrifft,
d = 27, denn (3*27)-1 = 80.
d = 27 ist der private Schlüssel.
Die Primzahlen p und q werden nicht mehr benötigt. Um den Schlüssel geheim zu halten, sollten sie nicht weitergegeben werden.
Zusammenfassung
Öffentlicher Schlüssel: n = 55 und e = 3
Privater Schlüssel: d = 27 (und ebenfalls n = 55)
Verschlüsselung:
Die Botschaft wird in Zahlen umgewandelt, also A=1, B=2, ...Z=26, dann folgen die Ziffern 0=27, 1=28 bis 9=36. Das Wort „Geheimbotschaft“ lautet diesem Prinzip zufolge „07 05 08 05 09 13 02 15 20 19 03 08 01 06 20“.
In der Realität ist die Verschlüsselung weitaus komplexer.
Um ein Klartext-Zeichen M zu verschlüsseln, berechnet man C = Me mod n. Verschlüsselt heißt das Wort „13 15 17 15 14 52 08 20 25 39 27 17 01 51 25“.
Für die Dekodierung spielt e keine Rolle mehr, stattdessen kommt der private Schlüssel d zum Einsatz: M = Cd mod n.
Internettipps für Schüler und Lehrer:
- Schülerkrypto: Jährlicher Workshop an der Universität Bonn für Schüler der Klassen 10-13 und ihre Lehrer:
http://cosec.bit.uni-bonn.de/students/events/11sky/ - Mystery Twister C3: Offener Kryptografie-Wettbewerb mit Aufgaben aller Schwierigkeitsniveaus: http://www.mysterytwisterc3.org/
- Cryptoportal für Lehrer: Plattform für Lehrer, die sich zum Thema Kryptografie austauschen oder Unterrichtsmaterial hochladen und diskutieren möchten: http://www.cryptoportal.org/
- Cryptool: Freie Verschlüsselungssoftware, mit der verschiedene kryptografische Verfahren angewendet werden können: www.cryptool.de
- Enigma: Ausführlicher Wikipedia-Artikel zu Geschichte, Bedienung und Entzifferung der berühmten Codiermaschine: http://de.wikipedia.org/wiki/Enigma_%28Maschine%29
